Determinare la soluzione reale, non costituita dall'approssimazione di un numero trascendente, dell'equazione esponenziale x⁶⁴ = 4ˣ.
Innanzitutto, risulta opportuno studiare le due funzioni per individuare gli eventuali punti di intersezione. Pertanto, visualizzando le funzioni descritte dalle due equazioni, sono presenti due punti d'intersezione:
A = (-0,9790169341829...; 0,2573789786199...) e
B = (1,0223929403516...; 4,1261202887196...).
Si osserva che i grafici delle due funzioni sono sempre crescenti e che si possono nuovamente incontrare solo nel primo quadrante: ciò significa che la soluzione dell’equazione dev’essere positiva; inoltre il punto d’incontro sembra essere collocato molto oltre i limiti della porzione di piano analizzata.
Notando che queste due soluzioni sono approssimazioni di numeri trascendenti e sapendo che questa equazione ha come radice reale anche un numero algebrico, anche se molto maggiore di questi, la si può ricavare ricorrendo a una manipolazione numerica o seguendo un procedimento algebrico basato su dimostrazioni la cui validità si estende a tutte le equazioni della stessa forma.
Primo metodo risolutivo (tratto dal video esplicativo https://youtu.be/e9IihhNFYEY, del Team HigherMaths)
x⁶⁴ = 4ˣ
(x⁶⁴)¹ᐟ ˣ = 4
(x⁶⁴ᐟˣ)¹ᐟ⁶⁴ = 4¹ᐟ⁶⁴
x¹ᐟˣ = 4¹ᐟ⁴^³
A questo punto, è utile provare a ridurre il secondo membro in una forma analoga a quella presente a primo membro tramite manipolazione numerica, e, in particolare, poiché 1/4³ = 4/(4³*4) per la proprietà invariantiva, si può scrivere: x¹ᐟˣ = 4⁴ᐟ⁽⁴^³*⁴⁾.
Questa è una maniera creativa e funzionale di trasformare l’equazione; infatti il secondo membro diventa (4⁴)⅟ ⁴^⁽³⁺¹⁾, e cioè (4⁴)⅟⁽⁴^⁴⁾, di forma analoga all’espressione presente a primo membro.
Dato che x¹ᐟˣ =(4⁴)⅟⁽⁴^⁴⁾, x = 4⁴ = 2⁸ = 256.
Secondo metodo risolutivo (costruito da me – questo metodo tiene poco conto delle considerazioni effettuate durante lo studio delle funzioni ma risulta più rigoroso, avvicinandosi più ad un esercizio dimostrativo che ad una risoluzione)
Per prima cosa, è possibile restringere progressivamente l’insieme ℝ delle soluzioni, prendendo in analisi la forma algebrica dell’equazione iniziale e non l'equazione stessa. La prima dimostrazione permette di trovare che se x non è trascendente, come da richiesta, allora non può essere irrazionale:
IPOTESI: xʸ = zˣ; y ∈ ℤ, z ∈ ℤ
x non è trascendente
TESI: x ∈ ℚ
Dopodiché risulta semplice dimostrare che x dev’essere intero.
IPOTESI: xʸ = zˣ; y ∈ ℤ, z ∈ ℤ x ∈ ℚ TESI: x ∈ ℤ
Dim. Per assurdo, assumiamo che x sia razionale ma non intero. In questo caso, x = a/b; a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b≠0, a ≠ bn, n ∈ ℤ.
xʸ = zˣ per ipotesi.
Per transitività, l’equazione diventa equivalente ad (a/b)ʸ = zᵃᐟᵇ. Osservando che zᵃᐟᵇ è la radice a-esima di zᵇ, che è un numero irrazionale, mentre (a/b)ʸ = aʸ/bʸ è razionale, si verifica un ASSURDO: l’equazione eguaglia un numero razionale ad uno irrazionale, ma nessun numero irrazionale è razionale.
--> x ∉ ℚ –ℤ
Ma x ∈ ℚ per ipotesi
--> x ∈ ℤ perché ℤ è contenuto in ℚ c.v.d
In questo modo è stato dimostrato che le soluzioni non trascendenti, non solo dell’equazione x⁶⁴ = 4ˣ ma anche di tutte le equazioni che si presentano nella forma xʸ = zˣ con y ∈ ℤ z ∈ ℤ, sono intere.
In più, in base alla dimostrazione che segue, x dev’essere naturale.
IPOTESI: xʸ = zˣ; y = 2n (considero y pari), n ∈ ℤ, x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, z ∈ ℤ -{1;0;-1}
TESI: x ∈ ℕ 
Ora che è noto il valore di z, è possibile risalire a quello di x per progressive sostituzioni, effettuabili per la proprietà transitiva delle relazioni d’equivalenza:
z= 1 y = 1 + 3 = 4 x = 64*4 = 2⁶*2² = 2⁸.
Adesso che l’equazione è stata risolta, la si può VERIFICARE: (2⁸)⁶⁴ = 4²^⁸ 2⁸*⁶⁴ = (2²)²^⁸ 2²^³*²^⁶ = 2²*²^⁸ 2²^⁽³⁺⁶⁾ = 2²^⁽¹⁺⁸⁾ 2²^⁹ = 2²^⁹ L’identità ottenuta dimostra che l’equazione è stata risolta correttamente.
OSS.: Sebbene questo metodo non permetta effettivamente di risolvere in modo algebrico l'equazione, vi si avvicina molto tramite dimostrazioni che restringono sempre di più il campo di ricerca, e che per di più valgono per tutte le equazioni analoghe. Inoltre, sia per aver in questa maniera ricavato che la soluzione non trascendente, se esiste, dev'essere naturale, sia per aver continuato a semplificare il problema, si è pervenuti a un'uguaglianza estremamente immediata alla fine, poiché f(z)=2²ᶻ cresce molto più rapidamente di z, e quindi, siccome già per z=2 f(z)=2⁴=16, e dato che l'espressione a primo membro continua a crescere di valore in tal modo, si deduce che il valore di z dev'essere 1 (da non confondere con la lettera z utilizzata nell'ultima dimostrazione, dove per ipotesi z≠1); a questo punto per non andare a tentativi sostituendo direttamente la soluzione univocamente determinata, si può manipolare la piccola quantità a secondo membro, ossia in pratica riscrivere 3 come una sottrazione che palesa il valore di z senza effettiva sostituzione.